Chronique raisonnable n° 15 ou leçon d’autodéfense intellectuelle du jeudi 23 février 2012

15ème Leçon d’autodéfense intellectuelle

Jeudi 23 février 2012

=====================================================================

15èmechronique raisonnable, pour :
o apprendre à soumettre à la critique les informations reçues
· prévenir les manipulations et
· démonter les croyances,
« Être libre, c’est ne plus avoir peur et être responsable de sa vie ».

Continuons ensemble l’étude des pièges d’un usage malicieux des mathématiques : apprendre à compter pour ne pas s’en laisser conter. Rappelez-vous l’émission précédente !

Nous avons défini le vocabulaire et les façons d’écrire propres aux probabilités. Nous avons présenté les évènements et leurs probabilités, puis les calculs de probabilités sur des combinaisons d’événements (ET, OU, NON). Nous avons parlé d’événements mutuellement exclusifs, d’évènements dépendants ou indépendants. Pour résumer, les principales formules du calcul des probabilités sont : P(A ou B) = P(A) + P(B), P( A et B) = P(A) x P(B) et P(non A) = 1 – P(A), sous certaines conditions d’indépendance ou d’exclusions mutuelles. Nous avons parlé du calcul à priori des évènements équiprobables et du calcul à posteriori par l’expérimentation pour les cas où nous ne connaissons pas l’ensemble des cas possibles.

Voyons donc la suite de ces éléments de base de la théorie des probabilités.

Prenons l’exemple de la loterie 6/49. La personne qui aura choisi 6 chiffres sur les 49, sera celle qui va gagner. Ces 6 chiffres sont ceux qui vont être choisis par un mécanisme le jour du tirage. La question est de trouver la probabilité que l’on a de gagner à ce jeu. Nous aurons besoin de règles d’arrangements et de combinaisons pour calculer cette probabilité.

On définit l’arrangement comme l’assemblage d’évènements en tenant compte de l’ordre. Ainsi si nous prenons les trois lettres A, B et C, et que nous cherchons de combien de manières on peut arranger ou ranger ces lettres en groupes de deux lettres, sans répéter la lettre et en considérant que AC est différent de CA. On dit que l’on cherche les arrangements par deux sur un ensemble de trois. On trouve les six arrangements suivants : ABBCBACBACCA

Bien sûr si l’on travaille sur un nombre plus grands de lettres ou d’évènements on se heurte à une difficulté pour les compter un à un. On a donc recours à une règle de calcul et à une notation. On notera le nombre d’arrangements Ank ou A exposant n indice k, avec n pour le nombre d’éléments de l’ensemble et k pour le nombre d’éléments que l’on regroupe. La formule de calcul est Ank = n ! / (n-k) ! = factorielle de n sur factorielle de n moins k

Factorielle de n est le produit des n premiers nombres.

Dans notre exemple, on a A32= 3 ! / 1 ! = factorielle de 3 sur factorielle de 1, ce qui fait 3 fois 2 fois 1 que divise 1 soit 6.

Si on revient à notre premier exemple le nombre d’arrangements de la loterie 6/49 est A496 = 49 ! / (49 – 6) ! = factorielle de 49 que divise factorielle de 43 = 10 068 347 520. (je vous invite à faire les calculs plus tard et à me croire pour l’instant).

Bien sûr, il vaut mieux se servir des calculatrices pour certains de ces calculs.

La conclusion est donc que nous avons en gros une chance sur dix milliards de trouver les six bons numéros avec un billet.

Il y a cependant une différence avec la situation réelle, nous avons calculé la probabilité d’avoir le résultat dans l’ordre, or dans la loterie l’ordre ne compte pas, donc ce que nous voulons trouver ce n’est pas les arrangements mais les combinaisons. Le nombre de combinaisons est noté de la même façon que l’arrangement, Cnk ou C exposant n indice k. La formule de calcul est Cnk = n ! / k ! (n-k) ! = factorielle de n sur factorielle de k que multiplie factorielle de n moins k.

Dans l’exemple de la loterie 6/49, on obtient le nombre de combinaisons suivant : C496= 49 ! / 6 ! x 43 ! = factorielle de 49 que divise factorielle de 6 que multiplie factorielle de 43 = 13 983 816.

Notre probabilité de gagner a fortement progressé puisqu’elle est passé à environ une chance sur 14 millions. Cela veut dire que si les 1 million 400 000 girondins achetaient chacun un billet différent, il y a neuf chances sur dix que personne ne gagne le prix !

Pour se rendre compte de ce que veut dire une chance sur un million dans un environnement plus familier, on peut regarder un certain nombre d’exemples. Vous avez une chance sur un million de mourir : en conduisant sans porter la ceinture de sécurité sur 96 kilomètres ; en conduisant une moto sans casque durant cinq minutes, en étant 10 minutes à bord d’un avion commercial, en fumant 2 cigarettes. Ainsi, si vous allez à Périgueux depuis Bordeaux, sans attacher votre ceinture, vous avez 12 fois plus de risques demourir d’un accident de la route que de chance de gagner au loto 6/49.

D’autres ordres de grandeur sont fournis dans l’ouvrage de Baillargeon avec les ouvrages de référence.

Mourir d’un accident de voiturec’est une chance sur 5 300

Mourir noyéc’est une chance sur 20 000

Mourir étoufféc’est une chance sur 68 000

Mourir d’un accident de bicyclettec’est une chance sur 75 000

Mourir d’un attentat terroriste en pays étrangerc’est une chance sur 1 600 000

Mourir de la foudrec’est une chance sur 2 millions

Mourir d’une piqûre d’abeillec’est une chance sur 6 millions

La difficulté avec les probabilités consistent à ce que l’on a du mal à définir ou décider si les événements sont ou non exclusifs ou indépendants.

Blaise Pascal a réalisé un triangle appelé « le Triangle de Pascal » qui pourra nous être utile pour certains calculs.

Je vous invite à prendre un crayon et une feuille blanche pour le réaliser. C’est un triangle contenant des cellules, une au sommet et 11 à sa base. De plus, vous verrez que le contenu des cellules est symétrique, c’est-à-dire qu’il est le même de chaque côté d’une ligne imaginaire qui coupe le triangle en deux de haut en bas.

La première ligne en haut ne contient qu’une cellule. On inscrit dans cette première cellule le chiffre 1. La ligne suivante contient 2 cellules et on les remplit avec la somme des chiffres qui se trouvent immédiatement au-dessus. Comme il n’y en a qu’un, on inscrit un dans chacune des deux cellules.

La ligne suivante, comporte trois cellules, avec les chiffres 1, 2, 1. La ligne suivante aura quatre cellules avec les chiffres 1, 3,3, 1. Ainsi de suite jusqu’à la 11èmeligne qui se lit ainsi : 1, 10, 45, 120, 210, 252, 210, 120, 45, 10 et 1 !

Les lignes sont numérotées, la deuxième ligne est la ligne n° 1 et la 11èmeligne est notée ligne n° 10. Chaque ligne nous donne la distribution de N expériences comportant deux issues ou deux possibilités. Prenons la ligne 10, par exemple, elle nous indique les probabilités de 10 lancers d’une pièce de monnaie avec deux possibilités : pile ou face, ou bien de dix naissances avec deux issues : garçon ou fille, etc. Le total des nombres que l’on y a mis est de 1024. C’est le nombre total des issues possibles. On lit ainsi ce triangle : on a une chance sur 1024 que tous les lancers de pièce donnent « pile » ; on a 10 chance sur 1024, d’obtenir 9 pile et 1 face ; 45 chances sur 1024 d’obtenir 8 pile et 2 face et ainsi de suite. La probabilité d’obtenir 5 pile et 5 face est immédiatement donnée par le triangle de Pascal, c’est 252 sur 1024. On remarque que la distribution 6-4, soit 6 pile et 4 face ou 4 pile et 6 face, est celle qui a le plus de chance d’advenir avec 2 fois 210 soit 420 chances sur 1024. Ce n’était peut-être pas aussi évident intuitivement de trouver ce résultat.

Un autre exemple, la probabilité dans une famille de 10 enfants que 3 soient des filles et 7 des garçons est de 120 sur 1024.

Lors de notre prochaine émission, nous terminerons la présentation des probabilités avant d’aborder les statistiques. Nous aborderons le sophisme du joueur et comment Pascal résolue l’énigme posée par Méré.

Pour finir, ce clin d’œil de Charb : un militaire cherche à enrôler un jeune avec l’argumentation suivante : « Engage-toi ! Les rebelles irakiens tuent moins que les routes françaises », avec perspicacité le jeune lui répond « Faut bombarder les routes françaises, alors ! Qu’est-ce qu’on fout en Irak !? ». Enfin, n’oubliez pas les conseils des émissions précédentes, ces conseils vous sont donnés pour laisser le moins de prise possible à l’émotion manipulatrice voulue.

Et retrouvez sur le site du cercle libertaire jean-barrué (http://cerclelibertairejb33.free.fr) nos chroniques en référence au « Petit cours d’autodéfense intellectuelle » de Normand Baillargeon.

Alors, à dans quinze jours.

SharePARTAGER
Ce contenu a été publié dans Achaïra, Leçon raisonnable de philaud. Vous pouvez le mettre en favoris avec ce permalien.

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

 

Ce site utilise Akismet pour réduire les indésirables. En savoir plus sur comment les données de vos commentaires sont utilisées.